mathschool-online μια σελίδα αφιερωμένη στη διδασκαλία των μαθηματικών

  • Στο blog του ηλεκτρονικού φροντιστηρίου μαθηματικών θα βρείτε Δωρεάν :
  • Λυμένες ασκήσεις
  • Θέματα εξετάσεων και απαντήσεις
  • Επαναληπτικά θέματα και απαντήσεις
  • Βιντεομαθήματα στο μάθημα των μαθηματικών,κ.α
  • Αν θέλετε να μάθετε τι είναι το mathschool-online επισκεφτείτε το σύνδεσμο http://mathschoolonline.snack.ws/

Καλή περιήγηση


Δωρεάν μαθήματα μαθηματικών για όλες τις τάξεις του Γυμνασίου

Βιντεοσκοπημένα μαθήματα μαθηματικών για το Γυμνάσιο με αναλυτική παρουσίαση τις θεωρίας,αναλυτική παρουσίαση του τρόπου επίλυσης των ασκήσεων καθώς επίλυση ασκήσεων του σχολικού βιβλίου

  • Περιεχόμενα



Mαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου (οι σημαντικότερες έννοιες)

Δωρεάν μαθήματα που καλύπτουν τις σημαντικότερες από τις εξεταζόμενες έννοιες των μαθηματικών κατεύθυνσης της γ΄ λυκείου


Λυμένες ασκήσεις γεωμετρίας (Α΄ Λυκείου)

  • Περιεχόμενα
  • Παραλληλόγραμμα
  • Τραπέζιο
  • Ρόμβος
  • Βαρύκεντρο και ορθόκεντρο τριγώνου
  • Διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου
  • Γωνίες με κάθετες πλευρές
  • Εγγεγραμμένες γωνίες
  • Άθροισμα γωνιών τριγώνου
  • Στο playlist βιντεομαθημάτων που ακολουθεί θα δείτε αναλυτικά τον τρόπο επίλυσης ασκήσεων της γεωμετρίας


Διαφορικός λογισμός (Ερωτήσεις,απαντήσεις & λυμένα παραδείγματα σε όλη την ύλη)


Διαφορικός λογισμός (Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου)

Κάντε κλίκ εδώ για να διαβάσετε το έγγραφο


Τριώνυμο (λύση τριωνυμικής εξίσωσης,παραγοντοποίηση τριωνύμου,ανισώσεις 2ου βαθ)

  • Περιεχόμενα
  • Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης
  • Τύποι Veta
  • Παραγοντοποίηση τριωνύμου
  • Πρόσημο του τριωνύμου
  • Ανισώσεις 2ου βαθμού
  • Διτετράγωνες εξισώσεις
  • Εξισώσεις 2ου βαθμού με απόλυτα
  • Παραμετρική εξίσωση 2ου βαθμού
  • Η τριωνυμική συνάρτηση
  • Μελέτη και γραφική παράσταση της τριωνυμικής συνάρτησης
  • Ακολουθεί το playlist με τα παραπάνω όπου γίνεται αναλυτική αναφορά στη θεωρία καθώς και στο τρόπο επίλυσης των ασκήσεων


Απόλυτες τιμές (θεωρία & λυμένες ασκήσεις)

  • Περιεχόμενα
  • Ορισμός της απόλυτης τιμής
  • Εξισώσεις 1ου βαθμού με απόλυτες τιμές
  • Κλασματικές εξισώσεις με απόλυτες τιμές
  • Ανισώσεις με απόλυτες τιμές
  • Διπλές ανισώσεις με απόλυτες τιμές
  • Κλασματικές ανισώσεις με απόλυτες τιμές
  • Εξισώσεις 2ου βαθμού με απόλυτες τιμές
  • Αδύνατες εξισώσεις με απόλυτες τιμές
  • Εξισώσεις με απόλυτα που επαληθεύονται για κάθε πραγματικό x
  • Στο playlist που ακολουθεί γίνεται αναλυτική παρουσίαση της θεωρίας και παρουσίαση του τρόπου επίλυσης των ασκήσεων


Παραμετρική εξίσωση (Α΄ Λυκείου)

Άσκηση (Α΄ Λυκείου)

Να διερευνηθεί και να λυθεί η παραμετρική εξίσωση (λ-3)x-6=(x-1)λ

για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ

Λύση

Εκτελώ επιμεριστικά τις πράξεις στο 2ο μέλος της εξίσωσης

(λ-3)x-6=λx-λ

Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους

(λ-3)x-λx=6-λ

Αναγωγή ομοίων όρων

(λ-3-1)x=6-λ <-> (λ-4)x=6-λ  (1)

1η Περίπτωση

λ-4 διάφορο του μηδέν , ισοδύναμα λ διάφορο του 4

Τότε η  λύση της (1)  είναι x= (6-λ)/(λ-4)  <-> x= -(λ-6)/(λ-4)

2η Περίπτωση

λ-4=0 <->λ=4 τότε η (1) γίνεται 0.x=6-4<->0.x=2 αδύνατη


Λυμένα αιτήματα μαθητών γυμνασίου

Τριγωνομετρικοί αριθμοί ορθογωνίου τριγώνου (Β΄&Γ΄ Γυμνασίου)


Άσκηση


alt


Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Β=900 , ΒΓ=5cm και ημΒ=4/5

1) Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου

2) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των οξειών γωνιών του τριγώνου


Λύση


Λίγα λόγια για το 1ο μέρος της άσκησης:


Από τον ορισμό του ημιτόνου έχω

ημίτονο=(απέναντι κάθετη πλευρά) / υποτείνουσα


Αφού γνωρίζουμε το ημίτονο και την υποτείνουσα μπορούμε να υπολογίσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά.Βλέπω ότι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί χρησιμεύουν στον υπολογισμό άγνωστων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου


Για τη γωνία Β έχω ημΒ=ΑΓ/ΒΓ   (1)


Από την υπόθεση ημΒ=4/5 και ΒΓ=5


Επομένως η σχέση  (1) γίνεται 4/5 = ΑΓ/5


Πολλαπλασιάζω χιαστί και έχω 4.5=ΑΓ.5<->ΑΓ=4cm


Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχω


ΒΓ2=ΑΒ2+ΑΓ2 <->52 =ΑΒ2+42<->25=ΑΒ2+16<->25-16=ΑΒ2

ΑΒ2=9<->ΑΒ=9<->ΑΒ=3cm


Λίγα λόγια για το 2ο μέρος της άσκησης:


Αφού στο 1ο ερώτημα υπολογίσαμε τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου,μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των οξειών γωνιών του χρησιμοποιώντας τους ορισμούς


συνημίτονο = προσκείμενη κάθετη πλευρά / υποτείνουσα

εφαπτομένη =απέναντι κάθετη πλευρά / προσκείμενη κάθετη πλευρά


Υπολογίζω το συνημήτονο και την εφαπτομένη της γωνίας Β


συνΒ=ΑΒ/ΒΓ = 3/5

εφΒ =ΑΓ/ΑΒ = 4/3


Υπολογίζω το ημίτονο,το συνημίτονο και την εφαπτομένη της γωνίας Γ

ημΓ= ΑΒ/ΒΓ = 3/5

συνΓ=ΑΓ/ΒΓ = 4/5

εφΓ= ΑΒ/ΑΓ = 3/4


Moνώνυμα (Γ΄Γυμνασίου)


Άσκηση

Να προσδιορισθεί η τιμή του φυσικού αριθμού ν ώστε το μονώνυμο

A=3xνy2


α) να είναι μηδενικού βαθμού ως προς x
β) να είναι πέμπτου βαθμού ως προς x και y


Λύση

Για να είναι το μονώνυμο Α :
 
α) μηδενικού βαθμού ως προς x πρέπει να είναι το σταθερό μονώνυμο, δηλαδή πρέπει να είναι της μορφής Α=3. Αυτό σημαίνει ότι o εκθέτης ν της μεταβλητής x πρέπει να είναι μηδέν , δηλαδή ν=0

β) πέμπτου βαθμού ως προς x και y, πρέπει το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών x και y να ισούται με 5

Αυτό σημαίνει ν+2=5->ν=5-2=3->ν=3


Ανισώσεις (Β΄& Γ΄ Γυμνασίου)


Άσκηση


(Παραμετρική ανίσωση)


Ποιές τιμές μπορεί να πάρει ο αριθμός α ώστε η ανίσωση 2x-3α+1>α(x-1) να έχει λύση τον αριθμό x=2


Λύση

Ο αριθμός x=2 αποτελεί λύση της ανίσωσης 2x-3α+1 > α(x-1)
Aυτό σημαίνει ότι επαληθεύει την ανίσωση


Επομένως έχω  2.2-3α+1 > α(2-1) <-> 4-3α+1>α <-> -3α-α > -5 <->

-4α > -5 <->4α < 5 <->α < 5/4


Άρα για να έχει η παραπάνω ανίσωση λύση τη τιμή x=2 πρέπει το
α < 5/4


Πόβλημα που λύνεται με ανίσωση (Β΄& Γ΄ Γυμνασίου)


Άσκηση

Ένας μαθητής έγραψε δύο διαγωνίσματα στο μάθημα των μαθηματικών με βαθμό 12 και 14 αντίστοιχα.Τί βαθμό πρέπει να γράψει στο επόμενο διαγώνισμα ώστε να έχει μέσο όρο πάνω από 14


Λύση

Έστω x o βαθμός που πρέπει να γράψει ο μαθητής ώστε να έχει μέσο όρο στα μαθηματικά πάνω από 14


Ο μέσος όρος είναι (12 +14 +x ) / 3


Θέλω (12 +14 +x ) / 3 > 14 -> (26 + x ) / 3 > 14 -> (26 + x )> 42 ->

x > 42-26-> x > 16


Επομένως ο μαθητής πρέπει να γράψει πάνω από 16 για να έχει μέσο όρο στο μάθημα των μαθηματικών πάνω από 14
 

Εμβαδά (Β΄& Γ΄Γυμνασίου)
 

alt


Άσκηση

Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ενός τριγώνου το χωρίζει σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα


Λύση

Έστω τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ

Φέρνουμε τη διάμεσο ΑΜ και το ύψος ΑΗ του τριγώνου ΑΒΓ


Θέλω να αποδείξω ότι (ΓΑΜ)=(ΒΑΜ)


Υπολογίζω καθένα από τα εμβαδά (ΓΑΜ) και (ΒΑΜ) χωριστά

(ΓΑΜ)= ΓΜ. (ΑΗ / 2 ) και (ΒΑΜ)=ΒΜ. (ΑΗ / 2)


Γνωρίζω όμως ότι η ΑΜ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ που αυτό

σημαίνει ότι ΓΜ=ΒΜ


Επομένως , σύμφωνα με τα παραπάνω ΓΜ. (ΑΗ / 2) = ΒΜ. (ΑΗ / 2)


Άρα (ΓΑΜ)=(ΒΑΜ) , δηλαδή η διάμεσος ΑΜ χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ

σε δύο τρίγωνα ΓΑΜ και ΒΑΜ που έχουν ίσα εμβαδά


Επίλυση τύπων (Β΄ Γυμνασίου)


Άσκηση

Να λυθεί ο παρακάτω τύπος ως προς λ

S=α / (1-λ)


Λύση 

Tοποθετώ τη μονάδα στο παρονομαστή του πρώτου μέλους της παραπάνω ισότητας S / 1 = α / (1-λ)


Ο άγνωστος στην παραπάνω εξίσωση είναι ο λ , επομένως πρόκειται για μια εξίσωση 1ου βαθμού με άγνωστο τον λ


1) πολλαπλασιάζω χιαστί  S . (1-λ)=α .1

2) εκτελώ επιμεριστικά τις πράξεις  S -Sλ=α

3) χωρίζω γνωστούς από αγνώστους  -Sλ=α - S

4) αλλάζω τα πρόσημα και στα δύο μέλη της ισότητας  Sλ=-α + S

5) διαιρώ και τα δύο μέλη της ισότητας με το S για να λύσω ως προς λ

Sλ / S = (-α + S) / S<-> λ = (-α + S) / S <-> λ = (S-α) / S άρα λ = (S-α) / S


Σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y 
(Γ΄ Γυμνασίου)
 

Άσκηση

Να λυθεί το σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x και y

2x+6y=22 (1)

  x+y = 5   (2)


Λύση

Πολλαπλασιάζω τη (2) με το -2 για να εξαλείψω το x


2x+6y=22   (1)

-2x-2y=-10  (2)΄


Προσθέτω τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη και έχω

0x+4y=12 <-> 4y=12 <-> y= 12/4  <-> y=3


Για y=3 η σχέση (2) γίνεται x+3=5 <-> x=5-3 <-> x=2


Άρα η λύση του συστήματος είναι x=2 και y=3


Προτεραιότητα των πράξεων  (Β΄ Γυμνασίου)


Άσκηση

Να υπολογισθεί η παράσταση

Α=2(3-5)+(6/2)(3-2)


Λύση

Εκτελώ πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις

Α=2.(-2)+(6/2)


Εκτελώ το πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση

Α=-4+3


Εκτελώ τη πράξη της πρόσθεσης μεταξύ ακεραίων

Α=-1


(ΕΚΠ) Α΄ Γυμνασίου


Άσκηση 1η

Να γίνουν οι πράξεις

(1/4)+(1/5)+(1/6)=


Λύση

Ο μεγαλύτερος των παρονομαστών είναι ο 6


Βρίσκω το πολλαπλάσιο του 6 το οποίο διαιρείται από τους 4 και 5


Το πολλαπλάσιο αυτό είναι το 10.6 = 60  το οποίο  διαιρείται  από

τους 4 και 5


Κάνω ομώνυμα τα κλάσματα και προσθέτω

(15/60)+(12/60)+(10/60)=37/60


(ΕΚΠ) Α΄ Γυμνασίου


Άσκηση 2η

Να βρείτε τον φυσικό αριθμό α έτσι ώστε το ΕΚΠ[4,α]=52


Λύση


Α΄Τρόπος
Οι αριθμοί 4 και α είναι διαιρέτες του ΕΚΠ τους δηλαδή του 52 και επιπλέον το ΕΚΠ αυτών δηλαδή το 52 είναι πολλαπλάσιο των αριθμών 4 και α


Διαιρώ το 52 με το 4 και έχω
52:4=13


Παρατηρώ ότι το 13 διαιρεί το ΕΚΠ δηλαδή το 52


Επομένως 52:13=4 και επιπλέον το ΕΚΠ δηλαδή το 52 είναι πολλαπλάσιο του 13 εφόσον
13.4 =52

Συνεπώς ο ζητούμενος αριθμός α είναι το 13


Άρα ΕΚΠ[4,α]=52 ισοδύναμα ΕΚΠ[4,13]=52


Β΄Τρόπος

Αναλύω το 52 σε παράγοντες διαιρώντας τον με τον μικρότερο διαιρέτη δηλαδή με το 2

52:2=26

26:2=13

13:13=1

(To 13 είναι πρώτος αριθμός και διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα )

Επομένως το ΕΚΠ των αριθμών 2,2,13 είναι ίσο με 2.2.13=52 ισοδύναμα 4.13=52

Άρα το α ισούται με 13


Συνοψίζω

ΕΚΠ[4,α]=52  ισοδύναμα   ΕΚΠ[4,13]=52


Τοποθέτηση κλασματικών αριθμών σε αύξουσα σειρά 

(Α΄ Γυμνασίου)


Άσκηση
Να τοποθετηθούν οι παρακάτω κλασματικοί αριθμοί κατά αύξουσα σειρά

a=20/37 , b=11/37 , c=30/37


Λύση

Oι κλασματικοί αριθμοί είναι ομώνυμοι (έχουν κοινό παρονομαστή),

συνεπώς μπορούν να συγκριθούν


Μικρότερο είναι το κλάσμα με το μικρότερο αριθμητή


Επομένως έχω     11/37  <   20/37   <   30/37 


Ισοδύναμα           b<a<c

Επικοινωνία


 

 

 

 

 

Όριο τριγωνομετρικής συνάρτησης

Γ΄ Λυκείου (Μαθηματικά Κατεύθυνσης)

Nα υπολογισθεί το όριο limx->π/2(π-2x)εφχ

Λύση

Θέτω x=π/2 - t , όταν x->π/2 , τότε t->0

Έχω (π-2x)εφx=2tεφx(π/2 - t)=2tσφt=2t/εφt

Επομένως limx->π/2(π-2x)εφx=limt->0 2t/εφt =2limt->0 t/εφt (Ι)

Εφόσον limt->0 t/εφt =1 η (Ι) γίνεται limx->π/2(π-2x)εφx=2.1=2

Περιττή συνάρτηση

Γ΄ Λυκείου (Μαθηματικά κατεύθυνσης)

Δίνεται η περιττή συνάρτηση f με πεδίο οριμού το [-α,α] η οποία είναι 1-1 και επί.

Να δειχθεί ότι :

1) Το πεδίο τιμών της f είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν

2) Η αντίστροφη της f είναι περιττή

Λύση

1) Αν το x0 ανήκει στο διάστημα [-α,α] τότε και το -x0 ανήκει στο διάστημα [-α,α]

Το f(x0 ) ανήκει στο πεδίο τιμών της f καθώς και το f(-x0 )

Επειδή η f είναι περιττή έχω f(-x0 )=-f(x0 ) (Ι)

Όμως επειδή το f(-x0 ) ανήκει στο πεδίο τιμών της f δηλαδή στο f([-α,α])λόγω της (Ι) και το -f(x0 ) ανήκει στο f([-α,α])

Επομένως για κάθε x0 που ανήκει στο διάστημα [-α,α] το f(x0 ) ανήκει στο f([-α,α]) συνεπάγεται ότι το f(-x0 ) ανήκει στο f([-α,α]) άρα -f(x0 ) ανήκει στο f([-α,α])

Από τα παραπάνω συμπεραίνω ότι το πεδίο τιμών της f είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν

2) Η f είναι 1-1 και επί επομένως ορίζεται η αντίστροφή της f-1

Aν y0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της f-1 αρκεί να δείξω ότι f-1(y0)=- f-1(-y0) για κάθε y0 που ανήκει στο πεδίο ορισμού της f-1

To y0 ανήκει στο πεδίο τιμών της f

Έστω ότι για τυχαίο x0 που ανήκει στο [-α,α] το f(x0)=y0 ->f-1(y0)=x0 (Ι)

Aπό την υπόθεση η f είναι περιττή

Επομένως f(x0)=-f(-x0)->y0=-f(-x0)->(-x0)=-y0->-x0=f-1(-y0)->x0=-f-1(-y0) (ΙΙ)

Από τις (Ι) και (ΙΙ) συνεπάγεται f-1(y0)=-f-1(-y0)

Άρα η f-1 είναι περιττή για κάθε y0 που ανήκει στο πεδίο ορισμού της